環論

目錄

• 定義
• 範例

定義

一個環 (Ring) 必須是存在一組非空集合，擁有兩組binary運算

• (加法運算)以及
• (乘法運算)

使得一些條件像是

(i) 屬於abelian ，存在作為加法單位元素 .

(ii) ，乘法運算存在相依性

(iii) ，同時存在分配律

其中一個條件是我們稱為代表這個環擁有乘法單位元素 ，意思即是

而如果R存在可交換性 (commutative) 的話則滿足

範例

(0) 任何體 (field) 皆屬於環，同時也屬於

(1) 當整數群消掉倍的整數群時，加法運算當中，而同時在乘法中

，所以我們可以稱是一個unital commutative ring.

(2)在多項式 (polynomial) 環裡我們設為任意的環，在之中多項式環存在組變數，這組的組成是

由到的係數與到的項次有限集合的組合

針對，variable的可以視為此存在單項式特性 (monomial)

就能夠表示

任何可以滿足於

意思是中第個係數

這樣就可以讓在環上作乘法運算

而這項即是滿足在環上的加法運算

• 存在可交換性 存在可交換性

• R屬於unital 屬於unital