環論 - Scientia Potentia Est

定義

一個環 (Ring) 必須是存在一組非空集合 $R$ ，擁有兩組binary運算

$R \times R \rightarrow R, (a, b) \mapsto a+b$ (加法運算)以及
$R \times R \rightarrow R, (a, b) \mapsto a \cdot b$ (乘法運算)

使得一些條件像是

(i) $(R, +)$ 屬於abelian $(a + b = b + a)$ ，存在 $0 = 0_{R}$ 作為加法單位元素 $(0 + a = a + 0 = a)$ .

(ii) $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ ，乘法運算存在相依性

(iii) $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c, (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ ，同時存在分配律

其中一個條件是我們稱 $R$ 為 $\textcolor{unital}$ 代表這個環擁有乘法單位元素 $1 = 1_{R} \in R$ ，意思即是 $1 \cdot a = a \cdot 1 = a$

而如果R存在可交換性 (commutative) 的話則滿足 $a \cdot b = b \cdot a, \>\> \forall a, b \in R$

範例

(0) 任何體 (field) 皆屬於環，同時也屬於 $\mathbb{Z}$

(1) 當 $R = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 整數群消掉 $n$ 倍的整數群時，加法運算當中 $(a+n\mathbb{Z}) + (b + n\mathbb{Z}) := a+b + n\mathbb{Z}$ ，而同時在乘法中 $(a+n\mathbb{Z}) \cdot (b + n\mathbb{Z}) := ab + n\mathbb{Z}.$

$0_{R} = n\mathbb{Z}, 1+{R} = 1 + n\mathbb{Z}$ ，所以我們可以稱 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是一個unital commutative ring.

(2)在多項式 (polynomial) 環裡我們設 $R$ 為任意的環， $R[x_{1}, \cdots, x_{n}]=$ 在 $R$ 之中多項式環存在 $n$ 組變數，這組 $R$ 的組成是

$\{\sum_{i_{1},\cdots,i_{n} \geq 0}a_{i_{1}},\cdots, a_{i_{r}} \cdot x_{1}^{i_{1}}, \cdots, x_{n}^{i_{n}}, \>\>finite \>\> sum, \>\> a_{i_{1}}, \cdots a_{i_{r}} \in R\}$

由 $a_{i_{1}}$ 到 $a_{i_{r}}$ 的係數與 $x_{1}$ 到 $x_{n}$ 的項次有限集合的組合

針對 $I = (i_{1}, \cdots, i_{n}) \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^{n}$ ，variable的 $X$ 可以視為 $X^{I} := x_{1}^{i_{1}} \cdots x_{n}^{i_{n}}$ 此存在單項式特性 (monomial)

$X^{I} \cdot X^{J} := X^{I+J}$ 就能夠表示 $(x_{1}^{i_{1}} \cdots x_{n}^{i_{n}}) \cdots (x_{1}^{j_{1}} \cdots x_{n}^{j_{n}}) := x_{1}^{i_{1} + j_{1}} \cdots x_{n}^{i_{n} + j_{n}} \Rightarrow x_{i} \cdot x_{j} = x_{j} \cdot x_{i}.$