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定義
一個環 (Ring) 必須是存在一組非空集合\(R\)，擁有兩組binary運算
- \(R \times R \rightarrow R, (a, b) \mapsto a+b\) (加法運算)以及
- \(R \times R \rightarrow R, (a, b) \mapsto a \cdot b\) (乘法運算)
使得一些條件像是
(i) \((R, +)\)屬於abelian \((a + b = b + a)\)，存在\(0 = 0_{R}\)作為加法單位元素 \((0 + a = a + 0 = a)\).
(ii) \(a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\)，乘法運算存在相依性
(iii) \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c, (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\)，同時存在分配律
其中一個條件是我們稱\(R\)為\(\color{red}{unital}\)代表這個環擁有乘法單位元素 \(1 = 1_{R} \in R\)，意思即是\(1 \cdot a = a \cdot 1 = a\)
而如果R存在可交換性 (commutative) 的話則滿足\(a \cdot b = b \cdot a, \>\> \forall a, b \in R\)
範例
(0) 任何體 (field) 皆屬於環，同時也屬於\(\mathbb{Z}\)
(1) 當\(R = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)整數群消掉\(n\)倍的整數群時，加法運算當中\((a+n\mathbb{Z}) + (b + n\mathbb{Z}) := a+b + n\mathbb{Z}\)，而同時在乘法中\((a+n\mathbb{Z}) \cdot (b + n\mathbb{Z}) := ab + n\mathbb{Z}.\)
\(0_{R} = n\mathbb{Z}, 1+{R} = 1 + n\mathbb{Z}\)，所以我們可以稱\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)是一個unital commutative ring.
(2)在多項式 (polynomial) 環裡我們設\(R\)為任意的環，\(R[x_{1}, \cdots, x_{n}]=\)在\(R\)之中多項式環存在\(n\)組變數，這組\(R\)的組成是\[ \{\sum_{i_{1},\cdots,i_{n} \geq 0}a_{i_{1}},\cdots, a_{i_{r}} \cdot x_{1}^{i_{1}}, \cdots, x_{n}^{i_{n}}, \>\>finite \>\> sum, \>\> a_{i_{1}}, \cdots a_{i_{r}} \in R\}\]
由\(a_{i_{1}}\)到\(a_{i_{r}}\)的係數與\(x_{1}\)到\(x_{n}\)的項次有限集合的組合
針對\(I = (i_{1}, \cdots, i_{n}) \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^{n}\)，variable的\(X\)可以視為\(X^{I} := x_{1}^{i_{1}} \cdots x_{n}^{i_{n}}\)此存在單項式特性 (monomial)
\(X^{I} \cdot X^{J} := X^{I+J}\)就能夠表示\((x_{1}^{i_{1}} \cdots x_{n}^{i_{n}}) \cdots (x_{1}^{j_{1}} \cdots x_{n}^{j_{n}}) := x_{1}^{i_{1} + j_{1}} \cdots x_{n}^{i_{n} + j_{n}} \Rightarrow x_{i} \cdot x_{j} = x_{j} \cdot x_{i}.\)
任何\(f \in R[x_{1}, \cdots, c_{n}]\)可以滿足於\[ f = \sum_{I} a_{I} \cdot x^{I}, \>\> finite \>\> sum, \>\> a_{I} \in R \]
\(a_{I}\)意思是\(f\)中第\(I\)個係數
\[(\sum_{I} a_{I} \cdot x^{I}) \cdot (\sum_{J}b_{J} \cdot x^{J}) := \sum_{I, J}a_{I} \cdot b_{J} \cdot x^{I+J} \]
這樣就可以讓\(a_{I} \cdot b_{J}\)在環上作乘法運算
\[(\sum_{I} a_{I} \cdot x^{I}) + (\sum_{J}b_{J} \cdot x^{J}) := \sum_{I}(a_{I} + b_{I}) \cdot x^{I} \]
而這項即是滿足\(a_{I}+b_{I}\)在環上的加法運算
- \(R\)存在可交換性 \(\Longleftrightarrow R[x_{1}, \cdots x_{n}]\)存在可交換性
- R屬於unital \(\Longleftrightarrow R[x_{1},\cdots, x_{n}]\)屬於unital
