群之可解性

目錄

• Definition 2.7
• Proposition 2.8
  • 證明
  • 範例

Definition 2.7

首先讓我們定義為一個群，我們說是solvable/soluble(可解)的話代表存在filtration 使得說是abelian的

照這個定義來看如果是要解多項式的話就需要滿足求根式解

Proposition 2.8

如果是solvable的話，則的subgroups以及商數皆為solvable

證明

讓使得屬於abelian

讓屬於subgroup

假設，則以及

範例

(1)屬於solvable.

證明：

(2)屬於solvable

(3)屬於solvable

(4)如果則不屬於solvable，(,一般來說無法在求根式解解出)

證明：假設我們有一個filtration 使得是abelian的，本身應該會包含在上所有的所有3-cycles組合，但在的時候會矛盾

(5)，意指Borel subgroup是solvable的，例如像是：一組upper triangular matrices

證明：，其中，而

with kernel

，其中與kernel