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在整個線性代數中，最基本的單位就是一個向量，假設一個擁有兩個值的向量像是

    \[V = \begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix}\]

向量加法

假設另一組向量w一樣包含於兩個值w = \begin{bmatrix} w_{1} \\ w_{2} \end{bmatrix}

可以進行向量的加法像是

    \[v + w = \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} w_{1} \\ w_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_{1} + w_{1} \\ v_{2} + w_{2}\end{bmatrix}\]

向量乘法

同樣的可以將向量乘上一組實數

    \[2 v = 2 \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2v_{1} \\ 2v_{2}\end{bmatrix}\]

    \[c\begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cv_{1} \\ cv_{2} \end{bmatrix}, where \> c \> \in \mathbb{Z}\]

在實數的運算下加法跟乘法一樣可以同時計算

    \[cv + dw = \begin{bmatrix} cv_{1}+dw_{1} \\ cv_{2}+dw_{2}\end{bmatrix}\]

這被稱作v跟w的線性組合，其中c跟d是實數，而不斷擴充下去可以到n個維度的線性組合

線性方程式

傳統上可以看到聯立方程式如下

    \[\begin{cases} x-2y = 1 \\ 3x+2y = 11\end{cases}\]

可以使用矩陣的形式來表示一組聯立方程式像是

    \[\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 11\end{bmatrix}\]

可以將其視為一組2 \times 2的矩陣，另外通常會表示成

    \[Ax = b\]

A是一組矩陣，目前是用row的角度在觀察這一組線性方程式，如果換成column的角度觀察的話可以表示成：

    \[x \begin{bmatrix}1 \\ 3 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} -2 \\ 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 11 \end{bmatrix}\]

我們的目標就是找出左邊矩陣可能的線性組合來滿足右邊的矩陣，

    \[3 \begin{bmatrix}1 \\ 3 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} -2 \\ 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 11 \end{bmatrix}\]

同樣的可以將這樣的表示法擴展到n個維度上。