Vectors

目錄

在整個線性代數中,最基本的單位就是一個向量,假設一個擁有兩個值的向量像是

    \[V = \begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix}\]

向量加法

假設另一組向量w一樣包含於兩個值w = \begin{bmatrix} w_{1} \\ w_{2} \end{bmatrix}

可以進行向量的加法像是

    \[v + w = \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} w_{1} \\ w_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_{1} + w_{1} \\ v_{2} + w_{2}\end{bmatrix}\]

向量乘法

同樣的可以將向量乘上一組實數

    \[2 v = 2 \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2v_{1} \\ 2v_{2}\end{bmatrix}\]

    \[c\begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cv_{1} \\ cv_{2} \end{bmatrix}, where \> c \> \in \mathbb{Z}\]

在實數的運算下加法跟乘法一樣可以同時計算

    \[cv + dw = \begin{bmatrix} cv_{1}+dw_{1} \\ cv_{2}+dw_{2}\end{bmatrix}\]

這被稱作vw的線性組合,其中cd是實數,而不斷擴充下去可以到n個維度的線性組合

線性方程式

傳統上可以看到聯立方程式如下

    \[\begin{cases} x-2y = 1 \\ 3x+2y = 11\end{cases}\]

可以使用矩陣的形式來表示一組聯立方程式像是

    \[\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 11\end{bmatrix}\]

可以將其視為一組2 \times 2的矩陣,另外通常會表示成

    \[Ax = b\]

A是一組矩陣,目前是用row的角度在觀察這一組線性方程式,如果換成column的角度觀察的話可以表示成:

    \[x \begin{bmatrix}1 \\ 3 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} -2 \\ 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 11 \end{bmatrix}\]

我們的目標就是找出左邊矩陣可能的線性組合來滿足右邊的矩陣,

    \[3 \begin{bmatrix}1 \\ 3 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} -2 \\ 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 11 \end{bmatrix}\]

同樣的可以將這樣的表示法擴展到n個維度上。

Scientia

我是Scientia,研究興趣包含Cryptology, Cryptographic Engineering, Security and Privacy, Computational Complexity, Quantum Cryptography, Cybersecurity, Hardware Security以及Anomaly Detection.

Related Posts

高斯消去法

    \[\begin{cases}2x + 4y - 2z = 2 \\ 4x + 9y - 3z = 8 \\ -2x - 3y + 7z = 10\end{cases}\]

為了解決上述的聯立方程系統,使用高斯消去法減少不同variable的係數來求出我們需要的結果.

發佈留言

發佈留言必須填寫的電子郵件地址不會公開。 必填欄位標示為 *

You Missed

群之可解性

群之可解性

威脅情報指標 Indicators of compromise (IoC)

威脅情報指標 Indicators of compromise (IoC)

Palo Alto Firewall URL過濾 以及 Application Block Page

Palo Alto Firewall URL過濾 以及 Application Block Page

群

NP-Completeness

NP-Completeness

異常檢測的問題分類

異常檢測的問題分類