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在數論當中群(Group)是其中一種重要的概念，代數最基本由三種結構組成：群 Group, 環 Ring, 體 Field，而群作為最基本的代數結構，也是我們在密碼系統中常常使用的，故需要先了解群的定義對於後續密碼系統分析會比較方便。
定義
一個群由一個集合和運算元組成G=(S,⊙)，集合S以及運算元⊙(這個意思表示任何運算元皆可，而我們在密碼系統內最常表達的是加法+與乘法*)，而一個群需要滿足下列四個條件：
- (封閉性 Closure)：Foreveryx,y∈S,x⊙y∈S ，對於任何元素x和y屬於S這個集合裡面，做任何的運算後該元素也應該要屬於這個集合內。
- (關聯性 Associativity)：Foreveryx,y,z∈S,(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z)，對於任何元素x, y, z屬於這個集合S內，先運算x與y最後再與z運算，跟y與z做運算最後再跟x做運算的結果是一樣的。
- (單位元素 Identity)：Existe∈S such that for every x∈S,x⊙e=e⊙x=x，在集合S內存在一個單位元素e能夠讓集合內任何一個元素x與這個e做運算會得到x本身。
- (反元素 Inverse)：Foreveryx∈S,exist y∈S,x⊙y=e，對這個集合S的x元素存在一個y元素，而x元素與y元素進行運算能夠得到單位元素e。
滿足以上四點的話該集合S就能構成一個群，而在多一項條件的話可以變成阿貝爾群(Abelian)：
- (交換性 Commutative)：Foreveryx,y∈S,x⊙y=y⊙x，對於任意x, y元素在S集合內，x對y進行運算跟y跟x進行運算結果都一樣。
Additive Groups 加法群
滿足群的條件，如果整個群裡面運算元使用加法，代表這是一個加法群，其定義如下：
- 運算元 ⊙→+
- 單位元素 Identity：0
- 反元素 inverse: ∃−x 對於x∈S
- multiple：kx=x+x+….+x
範例
(Z,+)：Z是整數集合{−∞…−2,−1,0,1,2,…,∞}，而+則代表在這個整數群內通通使用加法運算
(Zn,+)：Zn={0,1,…,n−1}，Zn是0到n-1的整數群並且使用加法運算在(mod n)的條件之下，(mod n)才能把條件限制在n-1之下
- ‖Zn‖=n，Zn這個整數群內的元素個數總共有n個，從0到n-1
- −x→n−x：x–x=0 (mod n)→−x=n–x
(Zp[x],+)：集合由多項式組成而係數在Zq集合內
Multiplicative Groups 乘法群
滿足群的條件，如果整個群裡面運算元使用乘法，代表這是一個乘法群，其定義如下：
- 運算元 ⊙→∗
- 單位元素 Identity：1
- 反元素 Inverse：x−1
- multiple：xk=x∗x∗…∗x
範例
(Q∖{0},∗)：Q是有理數集合排除掉0，並且這個群使用乘法運算元
(Z∗n,∗)：Z∗n={x|x∈Zn,x⊥n}，Z∗n代表這個整數群在(modn)之下，並且整個群都是使用乘法運算元
- ‖Z∗n‖=φ(n)
- x−1指的是x−1(modn)在x∈Z∗n的條件下
