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在數論當中群(Group)是其中一種重要的概念，代數最基本由三種結構組成：群 Group, 環 Ring, 體 Field，而群作為最基本的代數結構，也是我們在密碼系統中常常使用的，故需要先了解群的定義對於後續密碼系統分析會比較方便。
定義
一個群由一個集合和運算元組成\(G = (S, \odot)\)，集合S以及運算元\(\odot\)(這個意思表示任何運算元皆可，而我們在密碼系統內最常表達的是加法+與乘法*)，而一個群需要滿足下列四個條件：
- (封閉性 Closure)：\(For\>\> every\>\> x, y \in S, x \odot y \in S\) ，對於任何元素x和y屬於S這個集合裡面，做任何的運算後該元素也應該要屬於這個集合內。
- (關聯性 Associativity)：\(For\>\> every\>\> x,y,z \in S,(x \odot y) \odot z = x \odot (y \odot z)\)，對於任何元素x, y, z屬於這個集合S內，先運算x與y最後再與z運算，跟y與z做運算最後再跟x做運算的結果是一樣的。
- (單位元素 Identity)：\(Exist\>\> e \in S\ such\ that\ for\ every\ x \in S, x \odot e = e \odot x = x\)，在集合S內存在一個單位元素e能夠讓集合內任何一個元素x與這個e做運算會得到x本身。
- (反元素 Inverse)：\(For\>\> every\>\> x \in S, exist\ y \in S, x \odot y = e\)，對這個集合S的x元素存在一個y元素，而x元素與y元素進行運算能夠得到單位元素e。
滿足以上四點的話該集合S就能構成一個群，而在多一項條件的話可以變成阿貝爾群(Abelian)：
- (交換性 Commutative)：\(For\>\> every\>\> x, y \in S, x \odot y = y \odot x\)，對於任意x, y元素在S集合內，x對y進行運算跟y跟x進行運算結果都一樣。
Additive Groups 加法群
滿足群的條件，如果整個群裡面運算元使用加法，代表這是一個加法群，其定義如下：
- 運算元 \(\odot \to +\)
- 單位元素 Identity：0
- 反元素 inverse: \(\exists -x\) 對於\(x \in S\)
- multiple：\(kx = x + x +….+ x\)
範例
\((Z, +)\)：Z是整數集合\(\{-\infty…-2,-1,0,1,2,…,\infty\}\)，而+則代表在這個整數群內通通使用加法運算
\((Z_n, +)\)：\(Z_n=\{0,1,…,n-1\}\)，\(Z_n\)是0到n-1的整數群並且使用加法運算在\((mod\ n)\)的條件之下，\((mod\ n)\)才能把條件限制在n-1之下
- \(\lVert Z_n \rVert = n\)，\(Z_n\)這個整數群內的元素個數總共有n個，從0到n-1
- \(-x \to n-x\)：\(x – x = 0\ (mod\ n) \to -x = n – x\)
\((Z_p[x],+)\)：集合由多項式組成而係數在\(Z_q\)集合內
Multiplicative Groups 乘法群
滿足群的條件，如果整個群裡面運算元使用乘法，代表這是一個乘法群，其定義如下：
- 運算元 \(\odot \to *\)
- 單位元素 Identity：1
- 反元素 Inverse：\(x^{-1}\)
- multiple：\(x^{k} = x * x * … * x\)
範例
\((Q\backslash\{0\}, *)\)：Q是有理數集合排除掉0，並且這個群使用乘法運算元
\((Z_n^{*}, *)：Z_n^{*}=\{x | x \in Z_n, x\perp n\}\)，\(Z_n^{*}\)代表這個整數群在\((mod \> n)\)之下，並且整個群都是使用乘法運算元
- \(\lVert Z_n^{*} \rVert = \varphi(n)\)
- \(x^{-1}\)指的是\(x^{-1} (mod\> n)\)在\(x \in Z_n^{*}\)的條件下
